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Home Tre in fila Cruciverbone Chi vuol essere milionario (e millenario)? Prologo Capitolo I Capitolo II Capitolo III Capitolo IV Capitolo V Capitolo VI Capitolo VII Capitolo VIII Capitolo IX Capitolo X Epilogo |
CAPITOLO IV - Allora, si può sapere cosa era questa storia del contachilometri? L'unica cosa che ho capito è che abbiamo fatto 11.111 metri inutilmente! - iniziò Chiara azzannando una fetta di pane. - Ti spiego. - continuò Dario - Mentre le signorine erano in bagno - e su quel "signorine" le signorine fecero un'espressione di disaccordo - Andrea notava che le ultime cinque cifre del contachilometri formavano un quadrato perfetto, ovverosia - disse con fare altezzoso - la cui radice quadrata è un numero intero. - Grazie per la spiegazione finale - aggiunse Chiara. - Quando ci siamo fermati qui davanti Andrea notava che le ultime cifre del contachilometri, che poi in realtà è un conta-metri, erano di nuovo un quadrato perfetto. Tutto lì, Andrea ed io ci eravamo solo stupiti della coincidenza. - E quali erano questi numeri? - intervenne Giulia - Vorreste saperlo, eh? - continuò Dario - Vi piacerebbe, eh? - aggiunse Andrea - Beh, facciamo matematica, possiamo benissimo calcolarlo! - Certo, Giulia. O meglio: forse, Giulia. Io e Andrea non vorremmo mai sopravvalutarvi... - È una sfida? - così dicendo Giulia prese un tovagliolo e una biro e iniziò a fare i conti. - Ma sono numeri interi, è un casino. - disse Chiara - È una questione di principio, Chiara. Nel frattempo Dario ed Andrea si stavano godendo la scena. - Va bene, Giulia, che dati abbiamo? - Due numeri di cinque cifre, entrambi quadrati perfetti, la cui differenza è 11.111. - Non mi sembra molto. - Però dovrebbe bastarci. A quel punto intervenne Dario: - Problemi a modellizzare il problema? - Tutto è un problema - aggiunse Andrea - Tutto è numero, come direbbe Pitagora. - Già, Dario, quindi il problema è un numero? Andrea e Dario scoppiarono a ridere, Chiara e Giulia no. - Molto divertente. - disse Giulia in una finta risata - Mia sorella fuma, la ciminiera fuma, quindi mia sorella è una ciminiera? Non è un discorso valido. Andrea e Dario continuarono a ridere, Dario disse: - Hai una sorella ciminiera? - Beh, in effetti se fuma tanto il discorso regge. - aggiunse Andrea E continuarono a ridere. Chiara a Giulia: - Questa però te la sei cercata! - Non hai tutti i torti - rispose Giulia - Credo che ormai dobbiamo risolvere il problema. Avevi ragione sulla "questione di principio". - Il problema, in questi casi, è di riuscire a modellizzarlo bene, ovverosia trasformare le informazioni in nostro possesso in "matematichese", per poter risolvere il quesito applicando le regole che ci sono state insegnate dalla matematica. - Beh, abbiamo due numeri la cui differenza è 11.111. Possiamo chiamarli x e y. - Giusto, quindi x - y = 11.111. - Ed inoltre sono quadrati perfetti. - Come si traduce questo in matematichese? - Beh, se intendiamo x e y come le radici dei numeri che cerchiamo, forse siamo facilitati nel risolvere il problema. Andrea e Dario ascoltavano assorti (e anche un po' divertiti). - Quindi x2 - y2 = 11.111. - E ora? - Beh, possiamo scrivere (x + y)(x - y) = 11.111. - Caspita, non ci avevo proprio pensato. Ora basta scomporre in fattori primi 11.111 e il gioco è fatto, no? Tanto la scomposizione in fattori primi è unica, quindi non dovremmo avere problemi. - Sì, sperando che 11.111 abbia solo due divisori primi. - Perché? - Altrimenti ci saranno più combinazioni di x e y. Se invece la scomposizione è unica, lo è anche la soluzione. - Beh, dovrebbero essercene comunque due. - Sì, ma una sarebbe negativa. - Ah, sì, è vero. Beh, scomponiamo 11.111. Non è divisibile per 3, 5, 7... - Come fai a sapere che non è divisibile per 7? - Non conosci la regolina? Togli l'ultima cifra dal numero, in questo caso il numero 1. Poi lo raddoppi, e viene 2. Poi lo sottrai dal numero che ti è rimasto prima, ovvero 1.111. In questo caso 1.111 - 2 viene 1.109. Se questo è divisibile per 7 lo è anche l'altro, e viceversa. - Sì, ma siamo al punto di partenza. - Beh, possiamo iterare il metodo e applicarlo di nuovo con 1.109. - Giusto, quindi tolgo il 9, lo raddoppio ottenendo 18 e lo sottraggo a 110. Viene 92. - Giusto, ora prendi il 2, lo raddoppi ottenendo 4 e lo sottrai al 9. 9 - 4 fa 5, che non è divisibile per 7. - Aspetta, non ci credo. Prendo 49, che so essere divisibile per 7. Voglio provare ad applicare la tua regolina. Raddoppio il 9 e viene 18. Ora faccio 4 - 18... ma viene un numero negativo. - Che ti importa? Viene comunque -14 che è un multiplo di 7, anche se negativo. - Caspita, ma è difficile da dimostrare? - Non credo, ma al massimo lo facciamo fare ai saputelli qui a fianco... - Giusto. Ora torniamo al nostro problema. Non è quindi divisibile per 3, 5, 7, nemmeno per 11, direi. - No, infatti. Nel frattempo anche Andrea e Dario si erano messi a scribacchiare su un tovagliolo. Chiara riprese: - Proviamo a vedere per 13. - Il 13 nel 111... non mi pare. - No, infatti. 17 nemmeno e neanche 19. - Meglio, almeno aumentano le probabilità che la scomposizione sia unica. - Nemmeno 23 e 27. - Guarda che 27 è 9 per 3. - Ah, già, non è primo. - 29, 31, 37. Nemmeno loro vanno bene. - Ma fino a dove dobbiamo arrivare? Fino a 11.111? - No credo che basti la metà. A questo punto intervenne Andrea: - Vi dò uno sgamo: è sufficiente arrivare fino alla radice quadrata del numero, quindi nel vostro caso dovreste cavarvela smettendo intorno a 102 o 103... E ringraziate che non vi faccio dimostrare anche questo! - Ok, stai tranquillo... Dove eravamo rimasti, Chiara? - Al 37. Ora c'è il 41. - Funziona! Il 41 va bene. 11.111 diviso 41 fa 271. - Perfetto! Ora bisogna scomporre 271. - E dobbiamo arrivare solamente fino alla radice di 271, quindi prima di 20. - Sì, indicativamente sì. - Beh, 3, 5, 7, 11 non vanno bene. - Nemmeno 13, 17 e 19. - Sì, è vero, quindi è primo! - urlò Giulia, non nascondendo soddisfazione. - Quindi x + y = 271 e x - y = 41. Ci siamo. - Già, ora risolviamo il sistema. Chiara e Giulia iniziarono a fare calcoli. - Ecco! x è 156 e y è 115. - Infatti se facciamo i quadrati vengono rispettivamente 13.225 e 24.336, la cui differenza è 11.111. Andrea rispose con sufficienza: - Va bene, ve la siete cavata. Questa invece è la nostra dimostrazione del vostro giochino sul 7. - Date qua - e Chiara strappò di mano ad Andrea il tovagliolo. |
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