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Home Tre in fila Cruciverbone Chi vuol essere milionario (e millenario)? Prologo Capitolo I Capitolo II Capitolo III Capitolo IV Capitolo V Capitolo VI Capitolo VII Capitolo VIII Capitolo IX Capitolo X Epilogo |
CAPITOLO VIII Andrea si arrese al fatto che voleva sentire la spiegazione da Laura. - Beh, - cominciò Laura - tutti credono che la probabilità che in un gruppo di persone due siano nate lo stesso giorno dipenda direttamente dal numero stesso delle persone. - E non è così? - Non proprio. In realtà la dipendenza non è diretta, ma subordinata al numero delle coppie, che sale vertiginosamente con l'aumentare delle persone. - Capisco. - In questa sala, ad esempio, possiamo pensare di essere 100, così facciamo prima nei conti. - Sì, mi sembra onesto. - E possiamo tranquillamente non considerare gli anni bisestili, altrimenti complichiamo inutilmente i conti per avere poi gli stessi risultati. - Onesto anche questo. - Ecco, ora ci conviene considerare la probabilità che nessuna coppia sia nata nello stesso giorno, per poi calcolare il complementare. Mi segui? - Certamente, mia cara. - disse Dario con un'aria da volutamente finto Dongiovanni. - Non esageriamo... comunque se siamo in due la probabilità che il secondo non sia nato lo stesso giorno del primo è di 364/365, quindi la probabilità che siano nati entrambi lo stesso giorno è 1 - 364/365. - Fin qui ti seguo. Andrea, decisamente geloso, sussurrò nell'orecchio di Dario: - Dai che ci fa perdere tempo! - Ma cosa dici? Se mi racconta tutte queste cose, vuol dire che ha voglia di raccontarle e che le fa piacere che io l'ascolti... Lo so che siamo ad una festa, ma in fondo le feste servono per divertirsi e io mi sto divertendo. Se vuoi ci becchiamo dopo, mentre tu cerchi qualcuno che dica le stesse cose a te... - l'ultima frase suonava un po' come una frecciatina. - Va bene, dai, ci vediamo dopo. - e si allontanò. - Continua pure. - disse Dario rivolto a Laura - Abbiamo appena anlizzato il caso in cui ci sono solo due persone. Se ci fossero tre persone, immaginiamo che la prima compia gli anni nel giorno X. Bisogna calcolare la probabilità che le altre due non compiano gli anni in X, per poi fare il complementare. La seconda persona avrà probabilità 364/365 di non essere nata quel giorno, mentre la terza avrà 363/365 di non essere nata il giorno né della prima né della seconda persona. Quindi in tutto viene 1 - (364/365)(363/365). - Credo di avere capito. Notevole... quindi bastano una ventina di persone affinché almeno due siano nate lo stesso giorno. - Per la precisione ne bastano 23. - Senti, mi accompagneresti a cercare il mio amico? - Sicuro. Ma dove sarà finito? Ormai saranno arrivati molti altri. - Tra l'altro dovrebbero esserci anche altre due nostre amiche. - Ma non eravate da soli? - Sì, ma stamattina abbiamo conosciuto due compagne di facoltà, dovrebbero esserci anche loro. - Facciamo un giro, così se le incontriamo me le presenti. Io non conosco ancora quasi nessuno. Scusatemi se prima vi ho trattato un po' male, ma sembrava che il tuo amico volesse provarci, e tra l'altro forse lui voleva veramente... - Non lo so, non lo conosco ancora per poterlo dire. Eccolo! Su una poltroncina, apparentemente solo, sedeva Andrea. - Ciao Andrea. - disse Laura - come mai tutto solo? - Non mi piacciono queste feste. Non vedo l'ora che sia finita. Dario e Laura si misero a ridere. Laura poi tirò di nuovo fuori una delle sue chicche matematiche, scelte apposta per far arrabbiare Andrea, oppure per svegliarlo un po' da quel torpore anti-festa che gli era venuto. - Lo sai che cosa sono i numeri amici o amicabili? - Certo che lo so. - rispose Andrea, anche se la cosa non lo sconvolse più di tanto. - sono due numeri in cui i divisori dell'uno sommati danno l'altro, e viceversa. - Bravo. Saprai sicuramente dirmi anche la coppia più piccola di numeri amici qual è... - 220 e 286 credo. - 284 in realtà. A quel punto intervenne Dario. - Ehi, è vero! I divisori di 220 sono 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 e la loro somma fa 284. - Proprio così, - continuò Laura - e i divisori di 284 sono 1, 2, 4, 71, 142, la cui somma fa 220. - Complimentoni! - disse Andrea con un po' di sarcasmo - Non essere così. Scommetto che non conosci i numeri fidanzati! - No, quelli mi mancano. - l'interesse di Andrea sembrava rinascere - Io ovviamente non li conosco. - intervenne rassegnato Dario - Sono parenti dei numeri amici, solo che non si considera il numero 1 tra i divisori. - Beh, alla fine è la stessa cosa. - Sì, ma il suo significato filosofico è molto più profondo. Innanzi tutto le coppie di numeri fidanzati sono molte più dei numeri amicabili, come a voler dire che è più facile trovare un compagno che un amico; inoltre i numeri amicabili non possono essere mai fidanzati e quelli fidanzati non possono essere mai amicabili. Andrea pensò un attimo, poi saltò e disse: - Caspita! È vero. Notevole rappresentazione della vita reale! - Già, proprio così! - E quale sarebbe la prima coppia di numeri fidanzati? - 48 e 75. - Sì, stanno proprio bene insieme. - aggiunse Dario sorridendo - Sembrano fatti l'uno per l'altro! - I divisori di 48 sono 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e la loro somma dà 76, ovvero 75 se si esclude il numero 1. - disse Laura - Invece quelli di 75 - proseguì Andrea - sono 1, 3, 5, 15, 25, la cui somma dà 49 e quinidi 48 senza l'1. Notevole. Ed è anche evidentemente vera la proprietà che non possono essere amicabili. - Visto? Alla fine la matematica si applica a qualsiasi contesto... - Dai, Andrea, vieni con noi, non startene tutto solo. Andiamo a cercare Giulia e Chiara. - Giusto! Voglio proprio conoscerle! - aggiunse Laura Il resto della festa passò in modo abbastanza tranquillo e anche Laura presentò le sue conoscenze ai quattro amici. Mentre la serata volge al termine, ecco la formalizzazione del paradosso dei compleanni e la dimostrazione che i numeri amici non possono essere fidanzati e viceversa. Per quanto riguarda il paradosso del compleanno, è chiaro che la probabilità che in un gruppo di n persone almeno due siano nate lo stesso giorno e mese è  dove nella frazione abbiamo moltiplicato per 1 = 365/365 per alleggerire le notazioni. Il secondo problema è in realtà molto più semplice del previsto. Se a e b sono numeri amici, allora non possono essere fidanzati perché un eventuale fidanzato c di a dovrebbe essere c = b - 1, il che rende chiaramente impossibile che b = c. Per aggiungere una chicca, il numero 6 è amico di se stesso, in quanto i suoi divisori sono 1, 2, 3 e 1 + 2 + 3 = 6. Finita la festa Andrea, Dario e Laura si scambiarono i recapiti e ognuno tornò verso la propria residenza. |
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